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特殊的连续分布

本节开始介绍特殊的连续分布。

特殊连续分布

均匀分布**

均匀分布常用于生成随机初始值。如果随机变量X满足

\[f_X(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} &\text{if }a\leq x \leq b \\ 0 & \text{others.} \end{matrix}\right.\]

则 \(X \sim Unif(a,b)\)。

  • 均值 (b+a)/2，
  • 方差 (b-a)^2/12。

指数分布

如果随机变量X满足

\[f_X(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda} &\text{if }x>0 \\ 0 & \text{others.} \end{matrix}\right.\]

则 \(X\sim Exp(\lambda)\)，参数为 \(\lambda > 0\)。

  • 均值 \(\lambda\)，

  • 方差 \(\lambda ^2\)。

  • n个独立同指数分布的随机变量之和为爱尔朗分布，可用于排队论的研究。

正态分布****

正态分布可以称为最重要的连续分布。如果随机变量X满足

\[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp(\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2})\]

则\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)，参数为\(\mu,\sigma^2\)，分别为其均值和方差，标准差则为\(\sigma\)。标准正态分布的均值为0，方差为1。

相互独立且都服从正态分布的随机变量之和也服从正态分布，均值为各个分布的均值之和，方差也为各个分布的方差之和。这是一条重要性质。（可以了解稳定分布的相关概念。）

标准正态分布生成随机数也是软件编程中常用的初始值设置方式。

此外也需要了解正态分布的性质、非标准正态分布的标准化方法。正态分布与中心极限定理息息相关，而后者是概率论的支柱之一。

对数正态分布

对数正态分布是取对数以后服从正态分布。

伽马分布及其相关分布

如果\(s > 0\)，那么伽马函数\(\Gamma(s)\)就是

\[\Gamma(s) := \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^s\frac{dx}{x}.\]

有了伽马函数的定义以后，进一步定义伽马分布，此处略。 伽马分布了解即可，进一步探索可自行阅读相关领域书籍。

卡方分布***

卡方分布是统计学中最重要的分布之一，在假设检验中经常出现。如果随机变量X服从自由度为\(v \geq 0\)的卡方分布，那么X的概率密度函数为

\[ f_X(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2^{v/2}\Gamma(v/2)}x^{v/2-1}e^{-x/2} &\text{if }x>0 \\ 0 & \text{others.} \end{matrix}\right. \]

记作\(X \sim \chi^2(v)\)。虽然定义方式看起来很复杂，但是卡方分布的起源是正态分布，自由度为k的卡方分布是由k个服从标准正态分布的随机变量平方后求和而得，即，如果\(X_i \sim N(0,1),i=1,2,\cdots,k\)，那么\(Y_k=X_1^2+\cdots+X_k^2\)，\(Y_k \sim \chi^2(k)\)。更一般的，卡方分布的和仍然是卡方分布，自由度加和即可。

概率论除了分布，极限定理也是重要的一个部分，极限定理是概率论与高等数学的高度融合。[[3-极限定理]]

最后更新: May 7, 2023
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